원주율을 분수로 적으라고 하면 대부분 22/7을 떠올립니다. 그런데 5세기 중국에는 이보다 훨씬 정확한 분수가 이미 있었습니다. 남조의 수학자이자 천문학자 조충지(429년에 태어나 500년 무렵 세상을 떠남)가 남긴 355/113입니다. 소수로 바꾸면 3.14159292…로, 실제 원주율과 소수점 아래 여섯째 자리까지 같습니다.
이 글에서는 조충지의 숫자가 어떤 기록으로 전하는지 원문으로 확인하고, 그가 썼을 것으로 추정되는 다각형 계산을 직접 따라가 보았습니다. 그리고 분모가 4만 이하인 모든 분수를 계산해 355/113이 얼마나 특별한 분수인지 확인했습니다.
《수서》 율력지에 남은 세 가지 숫자
조충지는 계산 방법을 《철술(綴術)》이라는 책에 정리했다고 하지만 이 책은 12세기 무렵 사라졌습니다. 그 결과만 7세기에 편찬된 《수서(隋書)》 율력지에 짧게 남아 있습니다. 해당 부분은 다음과 같습니다.
圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽， 朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽， 正數在盈朒二限之間。 密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。 約率，圓徑七，周二十二。
지름을 1장(丈)으로 잡았을 때 둘레의 ‘남는 수(盈數)’는 3장 1척 4촌 1분 5리 9호 2초 7홀, ‘모자란 수(朒數)’는 같은 자리에서 끝자리가 6홀이라는 뜻입니다. 길이 단위가 모두 10배씩 내려가므로 이는 3.1415927과 3.1415926이고, 참값은 그 두 한계 사이에 있다고 적었습니다. 이어서 정밀한 비율인 밀률(密率) 355/113과 간단한 비율인 약률(約率) 22/7을 함께 제시합니다.
| 기록 | 분수·소수 | 실제 원주율과의 차이 |
|---|---|---|
| 위 한계(盈數) | 3.1415927 | +0.00000005 |
| 아래 한계(朒數) | 3.1415926 | −0.00000005 |
| 밀률(密率) | 355/113 = 3.14159292… | +0.00000027 |
| 약률(約率) | 22/7 = 3.14285714… | +0.00126 |
흥미로운 점은 조충지가 하나의 값이 아니라 위아래 두 경계를 먼저 제시했다는 것입니다. 아르키메데스가 223/71과 22/7 사이로 원주율을 묶었듯이, 참값이 반드시 들어가는 범위를 보증하는 방식입니다. 다만 그 폭은 아르키메데스의 약 0.002에서 0.0000001로, 2만 배가량 좁아졌습니다.
유휘의 할원술로 24,576각형까지 계산해 보니
《철술》이 사라졌기 때문에 조충지가 정확히 어떻게 계산했는지는 알 수 없습니다. 연구자들은 대개 그보다 약 200년 앞선 유휘의 방법, 즉 263년 《구장산술》 주석에 나오는 할원술(割圓術)을 이어서 썼다고 봅니다. 원 안에 정육각형을 그리고 변을 반씩 쪼개 12각형, 24각형으로 늘려 가며 넓이를 구하는 방법입니다.
유휘는 여기에 한 가지 부등식을 덧붙였습니다. n각형의 넓이를 Sₙ이라 하면 원의 넓이는 S₂ₙ보다 크고 S₂ₙ + (S₂ₙ − Sₙ)보다 작다는 것입니다. 늘어난 넓이만큼을 한 번 더 더하면 원을 넘어선다는 뜻이어서, 내접다각형만으로 위아래 경계를 함께 얻을 수 있습니다. 반지름을 1로 놓고 이 계산을 파이썬 decimal 40자리로 다시 해 보았습니다. 원주율 값은 넣지 않고 제곱근만 반복해 계산했습니다.
| 변 길이를 구한 정다각형 | 아래 한계(넓이) | 위 한계(유휘 부등식) | 조충지의 범위 안에 드는가 |
|---|---|---|---|
| 96각형 | 3.14103195 | 3.14271370 | 아니요 · 유휘가 3.14를 얻은 단계 |
| 1,536각형 | 3.14159046 | 3.14159703 | 아니요 · 3.1416을 얻는 단계 |
| 6,144각형 | 3.14159252 | 3.14159293 | 아니요 |
| 12,288각형 | 3.14159262 | 3.14159272 | 아래 한계만 들어감 |
| 24,576각형 | 3.14159265 | 3.14159267 | 예, 두 한계 모두 |
결과를 보면 12,288각형까지는 위 한계가 3.1415927보다 커서 조충지의 기록을 보증하지 못합니다. 24,576각형의 변 길이까지 구해야 비로소 3.1415926과 3.1415927이라는 두 경계를 모두 확보할 수 있습니다. 이는 조충지가 24,576각형까지 계산했으리라는 기존 추정과 같은 결론입니다.
계산의 양도 따져 볼 만합니다. 정육각형에서 24,576각형까지는 변을 12번 반으로 나눠야 하고, 한 번 나눌 때마다 제곱근을 두 번 구해야 합니다. 계산 막대로 9자리가 넘는 제곱근을 24번 연달아 구한 셈입니다. 중간 어디에서든 한 자리를 잘못 버리면 마지막 자리가 흔들리므로, 결과만큼 계산을 버티는 정밀함이 대단했다고 볼 수 있습니다. 유휘가 남긴 3.14와 3.1416(3927/1250)도 위 표의 같은 계산 경로 위에 있습니다. 3927/1250을 조충지의 값으로 보는 견해도 있습니다.
355/113이 특별한 이유: 분모 4만까지 모든 분수와 비교
경계를 알았다고 해서 355/113이라는 분수가 저절로 나오지는 않습니다. 이 분수가 얼마나 좋은지 보려고 분모를 1부터 40,000까지 하나씩 늘리며, 각 분모에서 원주율에 가장 가까운 분수를 모두 계산했습니다. 그리고 그때까지 나온 분수 가운데 가장 정확한 것이 바뀌는 순간만 기록했습니다.
결과는 극적입니다. 22/7 다음에 조금씩 나아지던 분수는 333/106을 지나 355/113에서 한꺼번에 소수점 아래 6자리 정확도로 뛰어오릅니다. 그리고 그 뒤로 분모가 16,603이 될 때까지 355/113보다 원주율에 가까운 분수가 하나도 없습니다. 분모가 16,604인 52163/16604가 처음으로 이기지만, 오차는 0.0000002668에서 0.0000002662로 겨우 0.2%만 줄어듭니다.
이 현상은 원주율을 연분수로 쓰면 설명됩니다. 원주율은 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …))))로 전개되는데, 다섯 번째 자리에 유난히 큰 292가 나옵니다. 연분수에서 큰 수가 나온다는 것은 바로 앞에서 끊은 분수가 다음 단계까지 아주 오래 버틴다는 뜻이고, 그 앞에서 끊은 분수가 355/113입니다. 지름 1km인 원의 둘레를 355/113으로 계산하면 오차가 0.27mm에 불과합니다.
조충지가 연분수를 썼다는 증거는 없습니다. 3/1과 22/7을 가중해 (3 + 22×16)/(1 + 7×16) = 355/113을 만드는 방식, 곧 당시 역법 계산에 쓰이던 조일법(調日法) 같은 절차로 얻었으리라는 추정이 있지만 어디까지나 추정입니다. 유럽에서는 16세기 말 네덜란드의 아드리안 안토니스존 무렵에야 같은 분수가 다시 나타나므로, 약 1,000년 넘게 앞선 셈입니다.
계산 방법과 참고 자료
다각형 경계는 정보호수가 파이썬 decimal(40자리)로 정육각형의 변 1에서 출발해 반각 공식 s₂ₙ = √(2 − √(4 − sₙ²))를 반복해 구했습니다. 분수 비교와 오차는 mpmath(50자리)로 계산했고, 원주율 상수는 오차를 잴 때만 비교용으로 썼습니다.
- 《수서(隋書)》 권16 율력지 상(위키문헌, 사고전서본): 조충지의 盈數·朒數·密率·約率 원문
- MacTutor 수학사 아카이브, 「Zu Chongzhi」(세인트앤드루스대학교): 생애, 《철술》의 전승과 소실, 24,576각형 추정
- MacTutor 수학사 아카이브, 「Liu Hui」: 유휘와 할원술 관련 참고 문헌
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조충지의 기록에서 눈여겨볼 부분은 355/113이라는 숫자보다 그 앞에 놓인 두 경계입니다. 먼저 참값이 들어갈 범위를 계산으로 보증하고, 그다음 실제로 쓰기 좋은 분수를 골랐습니다. 정확한 값과 쓰기 좋은 값을 구분해 둔 태도가 1,500년이 지난 지금 봐도 정확합니다.