고대 이집트의 곱셈에서는 한 수를 두 배씩 늘린 다음, 필요한 배수만 골라 더하는 방법을 사용했습니다. 두 자리 곱셈 9,604가지를 직접 세어 보니 평균 6번 남짓의 계산으로 끝났습니다. 곱셈을 모른 채 덧셈으로 버틴 것이 아니라, 곱셈을 반복 가능한 작은 계산으로 바꾼 것입니다. 다만 실제 문헌의 모든 계산이 1·2·4·8만 사용하는 한 가지 절차로 이루어진 것은 아닙니다.
영국 개방대학교의 이집트 계산 해설은 린드 파피루스 문제 69에서 80×14를 다루며, 14를 10과 4로 나눈 계산을 소개합니다. 4배는 두 번의 두 배 계산으로 만들지만 10배도 함께 활용합니다. 따라서 오늘날 설명하기 좋은 ‘두 배 표’를 모든 고대 계산의 유일한 형식으로 고정해서는 안 됩니다.
이처럼 실제 문헌은 두 배 계산과 다른 편리한 배수를 함께 씁니다. 이제 그중 두 배로 묶음을 만드는 원리만 떼어 13×27을 계산해 보겠습니다. 아래 숫자와 표는 원문 문제의 전사가 아니라 현대 교육용 예시입니다.
27을 열세 번 더하는 대신, 묶음을 키웁니다
27이 한 묶음 있다고 생각하겠습니다. 그것을 두 묶음, 네 묶음, 여덟 묶음으로 늘릴 때마다 이전 값을 자기 자신과 한 번 더하면 됩니다. 왼쪽에는 묶음 수, 오른쪽에는 전체 값을 적습니다.
| 27의 묶음 수 | 전체 값 | 선택 |
|---|---|---|
| 1 | 27 | 사용 |
| 2 | 54 | |
| 4 | 108 | 사용 |
| 8 | 216 | 사용 |
다음 행의 묶음 수는 16이므로, 양의 묶음을 더해서 13을 만들려는 이번 계산에는 필요하지 않습니다. 표 만들기를 멈추고 왼쪽에서 합이 13이 되는 행을 찾습니다. 8+4+1=13이므로 오른쪽의 216, 108, 27을 더하면 됩니다.
13 = 8 + 4 + 1
13 × 27 = 216 + 108 + 27
= 351
합계를 다시 더하기 전에 골라낸 묶음이 정말 열세 개인지 확인해 보세요. 8·2·1행을 골라 216+54+27=297을 얻었다면 덧셈은 맞아도 열한 묶음을 계산한 것입니다. 8·4·1과 216·108·27이 함께 선택돼야 합니다. 행 선택 오류와 덧셈 오류는 검산 방법도 다릅니다.
현대식으로 쓰면 (8+4+1)×27=8×27+4×27+1×27입니다. 분배법칙이 계산의 정당성을 설명합니다. 결과를 다른 방식으로 확인하면 13×(20+7)=260+91=351이므로 일치합니다.
어떤 수든 1·2·4·8로 만들 수 있을까요?
13을 8+4+1로 고를 수 있다는 사실만으로 모든 곱셈에 쓸 수 있다고 결론 내리기는 이릅니다. 필요한 줄이 없는 양의 정수도 있을까요? 충분히 큰 두 배 표를 만들면 항상 표현할 수 있고, 그 이유는 표가 덮는 범위에 있습니다.
그 이유는 가능한 범위가 빈틈없이 늘어나기 때문입니다. 1을 쓰거나 쓰지 않으면 0과 1을 만들 수 있습니다. 여기에 2를 더할 선택이 생기면 0부터 3까지, 다시 4를 더할 선택이 생기면 0부터 7까지 만들 수 있습니다.
1까지 준비: 0~1 2까지 준비: 0~3 4까지 준비: 0~7 8까지 준비: 0~15
기존에 만들 수 있는 범위 바로 다음 수가 새로 추가되는 두 배 값입니다. 그 수를 더하면 기존 범위와 같은 길이의 새 구간이 이어집니다. 이 설명은 왜 행을 한 번씩만 선택해도 모든 양의 정수를 만들 수 있는지 보여 주는 현대적인 정당화입니다. 고대 서기가 바로 이런 문장으로 증명했다고 주장하는 것은 아닙니다.
13에서 실제로 행을 고를 때도 큰 값부터 빼면 됩니다. 13에서 8을 빼면 5, 거기서 4를 빼면 1, 마지막으로 1을 빼면 0입니다. 남은 수보다 큰 2는 건너뜁니다. ‘어느 행을 고를지 감으로 찾는 방법’이 아니라 끝까지 따라갈 수 있는 규칙입니다.
같은 곱셈인데 표의 길이가 달라집니다
이번에는 41×3을 계산하는 두 방향을 비교하겠습니다. 3을 두 배씩 늘려 41묶음을 만들면 왼쪽에 1·2·4·8·16·32가 필요합니다. 41=32+8+1이므로 오른쪽의 96+24+3=123을 합합니다.
반대로 41을 두 배로 늘려 세 묶음을 만들면 표에는 1과 2만 있으면 됩니다. 대응하는 값 41과 82를 더하면 똑같이 123입니다. 앞 방식은 두 배 계산을 다섯 번, 선택한 값의 덧셈을 두 번 합니다. 뒤 방식은 두 배 계산 한 번과 최종 덧셈 한 번이면 됩니다.
표가 짧으면 실제 계산 시간도 반드시 짧을까요? 여기서 센 것은 두 배 계산과 최종 덧셈의 횟수입니다. 자릿수와 받아올림의 부담은 재지 않았습니다. 같은 답을 더 적은 단계로 얻는다는 결론은 가능하지만 실제 작업 시간을 측정한 결과로 확대해서는 안 됩니다.
행을 선택하거나 선택하지 않는 구조는 현대의 이진 표현과 비교할 수 있습니다. 하지만 계산 절차의 닮은 점만으로 이집트인이 현대 컴퓨터와 같은 숫자 표기나 장치를 사용했다고 말할 수는 없습니다. 무엇을 닮았고 무엇이 다른지 구분해야 비교가 도움이 됩니다.
이 곱셈법의 핵심은 많은 덧셈을 무작정 반복하는 데 있지 않습니다. 두 배씩 키운 묶음을 재사용하고, 필요한 묶음만 선택하는 데 있습니다. 계산표를 직접 만들면 답을 얻는 과정뿐 아니라, 같은 답을 더 짧은 절차로 구할 수 있는 이유까지 볼 수 있습니다.
2부터 99까지 모든 곱셈으로 세어 보니
이 방법이 실제로 얼마나 빠른지 두 자리 곱셈 전체로 세어 봤습니다. 2부터 99까지의 두 수를 곱하는 9,604가지 경우마다 두 배 계산 횟수와 고른 줄을 더하는 횟수를 합했습니다. 같은 수를 반복해서 더하는 방법과 비교하면 차이가 분명합니다.
| 비교 항목 | 결과 |
|---|---|
| 작은 수를 곱하는 수로 고를 때 평균 | 6.1번 |
| 큰 수를 곱하는 수로 고를 때 평균 | 8.0번 |
| 같은 수를 반복해서 더할 때 평균 | 33.2번 |
| 100 이하에서 가장 많은 경우 | 95: 두 배 6번 + 덧셈 5번 = 11번 |
| 2의 거듭제곱(예: 64) | 두 배만 6번, 덧셈 없음 |
평균 6번 남짓이면 두 자리 곱셈이 끝납니다. 같은 수를 반복해서 더하는 것보다 다섯 배 넘게 짧습니다. 앞의 41×3처럼 작은 수를 곱하는 수로 고르는 습관이 대체로 유리하다는 점도 숫자로 확인됩니다.
다만 항상 그렇지는 않았습니다. 두 수가 서로 다른 4,753가지 조합 가운데 456가지(약 9.6%)는 큰 수를 곱하는 수로 고르는 편이 더 짧았습니다. 15×16이 대표적입니다. 15는 1·2·4·8을 모두 골라야 해 6번이 걸리지만, 16은 두 배 네 번이면 끝납니다. 이진수로 썼을 때 1이 적은 수가 유리하다는 뜻입니다.
린드 파피루스의 80×14가 두 배 계산만 쓰지 않고 10배를 섞은 이유도 여기서 짐작해 볼 수 있습니다. 14를 두 배 표로만 만들면 두 배 3번과 덧셈 2번이 필요합니다. 그런데 이집트 숫자는 10, 100, 1,000마다 다른 기호를 쓰므로, 10배는 각 기호를 한 단계 위 기호로 바꾸면 끝납니다. 14=10+4로 나누면 10배 한 번, 두 배 두 번, 덧셈 한 번이면 됩니다. 계산법은 숫자를 적는 방식과 함께 골라졌다고 볼 수 있습니다.
계산 방법과 참고 자료
횟수는 정보호수가 파이썬으로 계산했습니다. 곱하는 수 m에 대해 두 배 계산은 m을 넘지 않는 가장 큰 2의 거듭제곱까지의 단계 수, 덧셈은 m을 2의 거듭제곱의 합으로 쓸 때 항의 개수에서 1을 뺀 값입니다.
- The Open University, Egyptian mathematics: 린드 파피루스 문제 69의 80×14 계산
